長さ1cmの棒を使って正三角形を作る問題です。 (1) 5段の正三角形に含まれる、1辺1cmの正三角形の数を求めます。 (2) 棒が108本使われている正三角形は何段か、またその正三角形には1辺1cmの正三角形が何個含まれているかを求めます。

1. 問題の内容

長さ1cmの棒を使って正三角形を作る問題です。

(1) 5段の正三角形に含まれる、1辺1cmの正三角形の数を求めます。

(2) 棒が108本使われている正三角形は何段か、またその正三角形には1辺1cmの正三角形が何個含まれているかを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

各段の正三角形の個数を数えます。

1段：1個

2段：4個

3段：9個

4段：16個

段数と正三角形の個数の関係は、$n$段のとき$n^2$個となります。

したがって、5段の正三角形には$5^2 = 25$個の正三角形が含まれます。

(2)

各段で使用する棒の数を数えます。

1段：3本

2段：9本

3段：18本

4段：30本

$n$段で使用する棒の数は、$3 \times \frac{n(n+1)}{2}$で表されます。

したがって、$3 \times \frac{n(n+1)}{2} = 108$となる$n$を求めます。

$\frac{3n(n+1)}{2} = 108$

$3n(n+1) = 216$

$n(n+1) = 72$

$n^2 + n - 72 = 0$

$(n+9)(n-8) = 0$

$n = -9, 8$

段数は正の整数なので、$n=8$となります。

8段の正三角形には$8^2 = 64$個の1辺1cmの正三角形が含まれます。

3. 最終的な答え

(1) 25個

(2) ア：8、イ：64