九九の表の一部が省略された表があり、縦に連続する3つのマスを黒く塗ります。上から順にそのマスの数を $a$, $b$, $c$ とします。 (1) $a+c$ を $b$ の式で表しなさい。 (2) $a+b+c = 48$ となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示しなさい。

1. 問題の内容

九九の表の一部が省略された表があり、縦に連続する3つのマスを黒く塗ります。上から順にそのマスの数を $a$, $b$, $c$ とします。

(1) $a+c$ を $b$ の式で表しなさい。

(2) $a+b+c = 48$ となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示しなさい。

2. 解き方の手順

(1)

縦に連続する3つのマスなので、$b$ は $a$ の次の数、$c$ は $b$ の次の数、または $a$ の2つ後の数になります。

つまり、$b = a + (b-a)$、$c = b + (c-b)$ と表せます。

九九の表なので、$b-a$ と $c-b$ は等しいはずです。$b - a = c - b = d$ と置くと $d$ は縦方向の数字の変化量です。

すると、$a = b - d$、$c = b + d$ と表せます。

したがって、$a + c = (b - d) + (b + d) = 2b$

(2)

$a + b + c = 48$ に (1) の結果 $a + c = 2b$ を代入すると、

$2b + b = 48$

$3b = 48$

$b = 16$

したがって、$b = 16$ になるマスを探します。

九九の表で16になるのは、2 x 8 = 16と 8 x 2 = 16 の2箇所です。

* 2 x 8 = 16 の場合、 $b = 16$ なので、$a = 8$、$c = 24$ となります。

$a + b + c = 8 + 16 + 24 = 48$ となるので、条件を満たします。

* 8 x 2 = 16 の場合、 $b = 16$ なので、$a = 7$、$c = 9$ となります。

$a + b + c = 7 + 16 + 9 = 32$ となりますが、今回は連続する3つのマスではないので考えません。

したがって、求める塗り方は、$a=8$, $b=16$, $c=24$ の場合です。

3. 最終的な答え

(1) $a + c = 2b$

(2) $a=8, b=16, c=24$ の場合

(8, 16, 24 を黒く塗った表の図を添付します。ただし、便宜上、図示は省略します。)