問題は2つの部分から構成されています。 (1) 405の正の約数の個数 $N$ を求めよ。 (2) $5x+3y=N^2$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ のうち、$x$ が素数である組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 405の正の約数の個数 $N$ を求めよ。

(2) $5x+3y=N^2$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ のうち、$x$ が素数である組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 405の素因数分解を行い、約数の個数を求めます。

$405 = 5 \times 81 = 5 \times 3^4$

約数の個数は、各素因数の指数の値に1を加えて掛け合わせたものです。

$N = (1+1) \times (4+1) = 2 \times 5 = 10$

(2) $N = 10$ なので、$N^2 = 100$ となります。

$5x+3y = 100$

$x$ は素数である必要があるので、$x = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...$ を順に代入して、$y$ が自然数となるかどうかを確認します。

$3y = 100 - 5x$

$y = \frac{100 - 5x}{3}$

$x=2$ のとき、$y = \frac{100-10}{3} = \frac{90}{3} = 30$. よって、$(2, 30)$ は解。

$x=3$ のとき、$y = \frac{100-15}{3} = \frac{85}{3}$. $y$ は整数でないので不適。

$x=5$ のとき、$y = \frac{100-25}{3} = \frac{75}{3} = 25$. よって、$(5, 25)$ は解。

$x=7$ のとき、$y = \frac{100-35}{3} = \frac{65}{3}$. $y$ は整数でないので不適。

$x=11$ のとき、$y = \frac{100-55}{3} = \frac{45}{3} = 15$. よって、$(11, 15)$ は解。

$x=13$ のとき、$y = \frac{100-65}{3} = \frac{35}{3}$. $y$ は整数でないので不適。

$x=17$ のとき、$y = \frac{100-85}{3} = \frac{15}{3} = 5$. よって、$(17, 5)$ は解。

$x=19$ のとき、$y = \frac{100-95}{3} = \frac{5}{3}$. $y$ は整数でないので不適。

$x \ge 20$ の場合、$5x \ge 100$ となり、$y \le 0$ となるため、考慮する必要はありません。

3. 最終的な答え

(1) $N = 10$

(2) $(x, y) = (2, 30), (5, 25), (11, 15), (17, 5)$