方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も100に近いのは、$y = 1, 2, 3$ のどのときか。

1. 問題の内容

方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も100に近いのは、$y = 1, 2, 3$ のどのときか。

2. 解き方の手順

まず、$19x - 11y = 1$ の特殊解を求める。

$19x - 11y = 1$ を満たす整数解の一つは、$x = 3$, $y = 5$ である。

これは、

$19(3) - 11(5) = 57 - 55 = 2$

$19(6) - 11(10) = 114 - 110 = 4$

$19(9) - 11(15) = 171 - 165 = 6$

$19(1) = 19$

$11(1) = 11$

$19 - 11 = 8$

$19(2) = 38$

$11(1) = 11$

$38-11 = 27$

$19(1) - 11(0) = 19$

$19(0) - 11(1) = -11$

$19(6) - 11(10) = 4$

$19(6) - 11(10)-3 =1$

$19(6) - 11(10+3) = 4 - 33 = -29$

$19(1) - 11(0) = 19$

$19(1) - 11(1) = 8$

$19(2) - 11(1) = 27$

$19(6) - 11(10) = 4$

$19x - 11y = 1$ において、$19(6) - 11(10) = 4$ より、

$19(3) - 11(5) = 2$

$19(3) - 11(5) = 2$

$19(1) - 11(1) = 8$

$19x - 11y = 1$ を $19x = 11y + 1$ と変形し、右辺が 19 の倍数になる $y$ を探す。

$y = 1$ のとき、$11(1) + 1 = 12$ (19 の倍数ではない)

$y = 2$ のとき、$11(2) + 1 = 23$ (19 の倍数ではない)

$y = 3$ のとき、$11(3) + 1 = 34$ (19 の倍数ではない)

$19 \times 1 = 19$

$19 \times 2 = 38$

$19 \times 3 = 57$

$19 \times 4 = 76$

$19 \times 5 = 95$

$19 \times 6 = 114$

$11y + 1 = 19x$ を満たすとき、

$y = 1$ のとき、$11(1) + 1 = 12$. $x = 12/19$

$y = 2$ のとき、$11(2) + 1 = 23$. $x = 23/19$

$y = 3$ のとき、$11(3) + 1 = 34$. $x = 34/19$

$y = 4$ のとき、$11(4) + 1 = 45$. $x = 45/19$

$y = 5$ のとき、$11(5) + 1 = 56$. $x = 56/19$

$y = 6$ のとき、$11(6) + 1 = 67$. $x = 67/19$

$y = 7$ のとき、$11(7) + 1 = 78$. $x = 78/19$

$y = 8$ のとき、$11(8) + 1 = 89$. $x = 89/19$

$y = 9$ のとき、$11(9) + 1 = 100$. $x = 100/19$

$y = 10$ のとき、$11(10) + 1 = 111$. $x = 111/19$

$y = 11$ のとき、$11(11) + 1 = 122$. $x = 122/19$

$y = 12$ のとき、$11(12) + 1 = 133$. $x = 133/19 = 7$

$x = 7$ のとき、$19 \times 7 = 133$. $133 - 1 = 132$. $132/11 = 12$. よって、$x = 7, y = 12$ は解。

一般解は、$x = 7 + 11k$, $y = 12 + 19k$ （$k$ は整数）。

$x$ が 100 に最も近い時を考える。

$x = 7 + 11k$

$x = 100$ のとき、$100 = 7 + 11k$. $93 = 11k$. $k = 93/11 \approx 8.45$.

$k = 8$ のとき、$x = 7 + 11(8) = 7 + 88 = 95$. $y = 12 + 19(8) = 12 + 152 = 164$.

$19(95) - 11(164) = 1805 - 1804 = 1$.

$k = 9$ のとき、$x = 7 + 11(9) = 7 + 99 = 106$. $y = 12 + 19(9) = 12 + 171 = 183$.

$19(106) - 11(183) = 2014 - 2013 = 1$.

$x = 95$ と $x = 106$ のどちらが 100 に近いか。

$|95 - 100| = 5$. $|106 - 100| = 6$.

$x = 95$ の方が近い。$x = 95$ のとき $y = 164$.

$y = 1$ のとき、$19x - 11(1) = 1$, $19x = 12$, $x = 12/19$ (整数解ではない)

$y = 2$ のとき、$19x - 11(2) = 1$, $19x = 23$, $x = 23/19$ (整数解ではない)

$y = 3$ のとき、$19x - 11(3) = 1$, $19x = 34$, $x = 34/19$ (整数解ではない)

よって、$x=7+11k$, $y=12+19k$ であり，$x$が100に一番近いのは$k=8$のとき，$x=95$, $y=164$である．

$x = 95$

$x = 7 + 11k = 95$

$y = 12 + 19k = 164$

$19x - 11y = 1$

$19(7+11k) - 11(12+19k) = 133+209k - 132 - 209k = 1$

$19x=11y+1$

$x = (11y+1)/19$

$x = 106 = (11y+1)/19$

$106(19) = 11y+1$

$2014=11y+1$

$2013=11y$

$y=183$

$y$

3. 最終的な答え

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