方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も100に近いのは、$y = 123$ のときである。このとき、$x$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も100に近いのは、$y = 123$ のときである。このとき、$x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

方程式 $19x - 11y = 1$ に $y = 123$ を代入します。

$19x - 11(123) = 1$

$19x - 1353 = 1$

$19x = 1354$

$x = \frac{1354}{19}$

$x = 71.263...$

$x$ は整数である必要があるので、$x$ に最も近い整数を調べます。

$19x - 11y = 1$ を満たすような $x$ を探すには、まず特殊解を求めます。

$19x - 11y = 1$

$19(6) - 11(10) = 114 - 110 = 4$

$19(3) - 11(5) = 57 - 55 = 2$

$19(1.5) - 11(2.5) = 28.5 - 27.5 = 1$ (整数解ではないのでNG)

特殊解を一つ見つけるために、互除法を使います。

$19 = 11 \cdot 1 + 8$

$11 = 8 \cdot 1 + 3$

$8 = 3 \cdot 2 + 2$

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

$1 = 3 - 2 \cdot 1$

$1 = 3 - (8 - 3 \cdot 2) \cdot 1 = 3 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$1 = (11 - 8 \cdot 1) \cdot 3 - 8 \cdot 1 = 11 \cdot 3 - 8 \cdot 4$

$1 = 11 \cdot 3 - (19 - 11 \cdot 1) \cdot 4 = 11 \cdot 7 - 19 \cdot 4$

$1 = 19 \cdot (-4) - 11 \cdot (-7)$

よって、$19(-4) - 11(-7) = 1$ なので、特殊解は $(x_0, y_0) = (-4, -7)$ です。

一般解は $x = -4 + 11k$, $y = -7 + 19k$ (kは整数) と表せます。

$x$ が100に近い場合、$x = -4 + 11k \approx 100$ とすると、$11k \approx 104$ なので、$k \approx \frac{104}{11} \approx 9.45$

$k = 9$ のとき、$x = -4 + 11(9) = -4 + 99 = 95$, $y = -7 + 19(9) = -7 + 171 = 164$

$k = 10$ のとき、$x = -4 + 11(10) = -4 + 110 = 106$, $y = -7 + 19(10) = -7 + 190 = 183$

$x$ が最も100に近いのは、$x = 95$ の場合と $x = 106$ の場合です。

$|100 - 95| = 5$, $|100 - 106| = 6$ なので、$x=95$ の方が100に近いです。

このとき、$y = 164$ です。

$y = 123$ のときの $x$ の値は、$19x = 1 + 11(123) = 1 + 1353 = 1354$, $x = \frac{1354}{19} \approx 71.26$

$|100 - 71.26| = 28.74$

$x$ は整数なので、 $x=71$ のとき、$19(71) = 1349 = 11y + 1$, $11y = 1348$, $y = 122.54$ (整数ではない)

$x=72$ のとき、$19(72) = 1368 = 11y + 1$, $11y = 1367$, $y = 124.27$ (整数ではない)

ここで、$x=95$ のときの $y=164$ に注目すると、$|164 - 123| = 41$ なので、 $y=123$ のときは、$x$ の値が100に最も近いということはないと思われます。

問題文が間違っている可能性があります。しかし、問題文の指示通り $y = 123$ として $x$ を求めます。

$x = \frac{1 + 11(123)}{19} = \frac{1 + 1353}{19} = \frac{1354}{19} = 71.263...$

最も近い整数は71なので、$x=71$とします。

$19(71) - 11y = 1$

$1349 - 11y = 1$

$11y = 1348$

$y = \frac{1348}{11} = 122.545...$

yは整数ではないので、これは不適です。

最も近い整数は123なので、$y=123$とします。

$19x - 11(123) = 1$

$19x - 1353 = 1$

$19x = 1354$

$x = \frac{1354}{19} = 71.263...$

$x$に最も近い整数は、$71$です。

3. 最終的な答え

71