方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も 100 に近いものを求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $19x - 11y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、$x$ の値が最も 100 に近いものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、特殊解を求めます。ユークリッドの互除法を用いると、

$19 = 11 \times 1 + 8$

$11 = 8 \times 1 + 3$

$8 = 3 \times 2 + 2$

$3 = 2 \times 1 + 1$

$1 = 3 - 2 \times 1$

$1 = 3 - (8 - 3 \times 2) \times 1 = 3 \times 3 - 8 \times 1$

$1 = (11 - 8 \times 1) \times 3 - 8 \times 1 = 11 \times 3 - 8 \times 4$

$1 = 11 \times 3 - (19 - 11 \times 1) \times 4 = 11 \times 7 - 19 \times 4$

したがって、$19(-4) - 11(-7) = 1$ となります。

特殊解として、$(x, y) = (-4, -7)$ が得られます。

次に、一般解を求めます。

$19x - 11y = 1$

$19(-4) - 11(-7) = 1$

辺々引くと、

$19(x + 4) - 11(y + 7) = 0$

$19(x + 4) = 11(y + 7)$

19 と 11 は互いに素なので、$x + 4 = 11k$ (k は整数) と表せます。

すると、$x = 11k - 4$ となります。

これを代入して、$19(11k) = 11(y + 7)$

$19k = y + 7$

$y = 19k - 7$

したがって、一般解は $(x, y) = (11k - 4, 19k - 7)$ (k は整数) となります。

$x$ が 100 に最も近いものを探します。

$x = 11k - 4$ なので、$11k - 4 \approx 100$

$11k \approx 104$

$k \approx \frac{104}{11} \approx 9.45$

$k = 9$ のとき、$x = 11(9) - 4 = 99 - 4 = 95$

$k = 10$ のとき、$x = 11(10) - 4 = 110 - 4 = 106$

$|95 - 100| = 5$

$|106 - 100| = 6$

したがって、$x = 95$ の方が 100 に近いことがわかります。

3. 最終的な答え

95