5で割ると2余り、7で割ると4余る自然数のうち、100に最も近いものを求める。

## 問題24

1. 問題の内容

5で割ると2余り、7で割ると4余る自然数のうち、100に最も近いものを求める。

2. 解き方の手順

* 5で割ると2余る自然数は、$5k+2$（kは整数）と表せる。

* 7で割ると4余る自然数は、$7l+4$（lは整数）と表せる。

したがって、$5k+2 = 7l+4$ という式が成り立つ。

これを変形すると、$5k = 7l + 2$ となる。

$k$ について解くと、$k = \frac{7l+2}{5}$となる。

$k$ が整数になるためには、$7l+2$ が5の倍数でなければならない。

$7l+2 = 5m$とおくと、$l = \frac{5m-2}{7}$。

同様に $l$ が整数になるためには、$5m-2$が7の倍数でなければならない。

$m$ に小さい整数を代入して、$5m-2$が7の倍数になるものを探す。

$m = 3$ のとき、$5(3)-2 = 13$ (7の倍数ではない)

$m = 4$ のとき、$5(4)-2 = 18$ (7の倍数ではない)

$m = 5$ のとき、$5(5)-2 = 23$ (7の倍数ではない)

$m = 6$ のとき、$5(6)-2 = 28$ (7の倍数である)

したがって、$m=6$のとき、$l = \frac{5(6)-2}{7} = \frac{28}{7} = 4$

$k = \frac{7(4)+2}{5} = \frac{30}{5} = 6$

よって、最初の数は、$5k+2 = 5(6)+2 = 32$ または $7l+4 = 7(4)+4 = 32$。

$5k+2 = 7l+4$ を満たす数は、$35n + 32$ (nは整数)で表せる。

100に近い数を探す。

n=1のとき、$35(1)+32 = 67$

n=2のとき、$35(2)+32 = 102$

n=3のとき、$35(3)+32 = 137$

100に最も近いのは、$102$である。

3. 最終的な答え

102