$\frac{1}{17}$ を小数で表したとき、小数点以下の数字が何個ごとに循環するかを求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{17}$ を小数で表したとき、小数点以下の数字が何個ごとに循環するかを求める問題です。

2. 解き方の手順

分数を小数で表すには、分子を分母で割る必要があります。$\frac{1}{17}$ を計算すると、循環小数になります。循環する桁数は、分母から計算できます。

まず、分母である $17$ と互いに素な整数 $10$ を考えます。次に、$10^n \equiv 1 \pmod{17}$ となる最小の自然数 $n$ を探します。この $n$ が循環する桁数となります。

$10^1 \equiv 10 \pmod{17}$

$10^2 \equiv 100 \equiv 15 \pmod{17}$

$10^3 \equiv 150 \equiv 14 \pmod{17}$

$10^4 \equiv 140 \equiv 4 \pmod{17}$

$10^5 \equiv 40 \equiv 6 \pmod{17}$

$10^6 \equiv 60 \equiv 9 \pmod{17}$

$10^7 \equiv 90 \equiv 5 \pmod{17}$

$10^8 \equiv 50 \equiv 16 \equiv -1 \pmod{17}$

$10^{16} \equiv (10^8)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{17}$

したがって、$10^{16} \equiv 1 \pmod{17}$ です。

また、$n=16$未満の数で$10^n \equiv 1 \pmod{17}$ となるものはないので、循環節の長さは$16$です。

実際に割ってみると、

$\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647}$

3. 最終的な答え

16個