方程式 $75x + 8y = 3$ の整数解を全て求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $75x + 8y = 3$ の整数解を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $75x + 8y = 3$ の特殊解を求めます。

ユークリッドの互除法を用いて、$75$ と $8$ の最大公約数を求めます。

$75 = 8 \times 9 + 3$

$8 = 3 \times 2 + 2$

$3 = 2 \times 1 + 1$

よって、最大公約数は $1$ です。

次に、上の式を逆向きに辿って、$75x + 8y = 1$ を満たす整数解 $x, y$ を求めます。

$1 = 3 - 2 \times 1$

$1 = 3 - (8 - 3 \times 2) \times 1 = 3 \times 3 - 8 \times 1$

$1 = (75 - 8 \times 9) \times 3 - 8 \times 1 = 75 \times 3 - 8 \times 27 - 8 \times 1 = 75 \times 3 - 8 \times 28$

したがって、$75 \times 3 + 8 \times (-28) = 1$ が成り立ちます。

この式を $3$ 倍すると、$75 \times 9 + 8 \times (-84) = 3$ となり、$75x + 8y = 3$ の特殊解の一つは $x = 9, y = -84$ であることがわかります。

次に、一般解を求めます。

$75x + 8y = 3$ の一般解は、$x = 9 + 8k, y = -84 - 75k$ (kは整数) で表されます。

3. 最終的な答え

$x = 9 + 8k$

$y = -84 - 75k$

($k$ は任意の整数)