(1) 3桁以上の平方数において、十の位の数を $a$、一の位の数を $b$ とするとき、$a+b$ が偶数ならば、$b$ は0または4であることを証明する。 (2) 5桁以上の平方数において、千の位、百の位、十の位、一の位の数がすべて同じ数であるならば、その平方数は10000で割り切れることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 3桁以上の平方数において、十の位の数を $a$、一の位の数を $b$ とするとき、$a+b$ が偶数ならば、$b$ は0または4であることを証明する。

(2) 5桁以上の平方数において、千の位、百の位、十の位、一の位の数がすべて同じ数であるならば、その平方数は10000で割り切れることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n^2$ を平方数とする。このとき、$n$ を整数として、$n \equiv r \pmod{10}$ と表せる。ここで、$r$ は $n$ の一の位である。すると、$n^2 \equiv r^2 \pmod{10}$ となる。

$r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ に対して、$r^2 \pmod{10}$ を計算すると、

$0^2 \equiv 0 \pmod{10}$

$1^2 \equiv 1 \pmod{10}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{10}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{10}$

$4^2 \equiv 6 \pmod{10}$

$5^2 \equiv 5 \pmod{10}$

$6^2 \equiv 6 \pmod{10}$

$7^2 \equiv 9 \pmod{10}$

$8^2 \equiv 4 \pmod{10}$

$9^2 \equiv 1 \pmod{10}$

よって、平方数の一の位としてあり得る数は $0, 1, 4, 5, 6, 9$ である。

$n$ を $10m + r$ と表す。このとき、

$n^2 = (10m + r)^2 = 100m^2 + 20mr + r^2$

$n^2 \equiv 20mr + r^2 \pmod{100}$

$n^2$ の十の位は、$2mr + \lfloor r^2 / 10 \rfloor$ の一の位に等しい。つまり、 $a \equiv 2mr + \lfloor r^2 / 10 \rfloor \pmod{10}$ である。

(i) $b=0$ のとき、$r=0$ なので、$n=10m$ と表せる。したがって、$n^2=100m^2$ であり、$a=0$ となる。このとき、$a+b = 0$ は偶数である。

(ii) $b=1$ のとき、$r=1$または$9$ なので、$r=1$ のとき、 $a \equiv 2m \pmod{10}$ となる。$a+b = 2m + 1$ は奇数である。$r=9$ のとき、$a \equiv 18m + 8 \equiv 8m+8 \pmod{10}$。$a+b = 8m+9$ は奇数である。

(iii) $b=4$ のとき、$r=2$または$8$ なので、$r=2$ のとき、$a \equiv 4m + 0 \pmod{10}$となる。$a+b=4m+4$ は偶数である。$r=8$ のとき、$a \equiv 16m + 6 \equiv 6m + 6 \pmod{10}$ 。$a+b = 6m+10$ は偶数である。

(iv) $b=5$ のとき、$r=5$ なので、$a \equiv 10m + 2 \equiv 2 \pmod{10}$。$a+b = 7$ は奇数である。

(v) $b=6$ のとき、$r=4$または$6$ なので、$r=4$ のとき、$a \equiv 8m + 1 \pmod{10}$ 。$a+b = 8m+7$ は奇数である。$r=6$ のとき、$a \equiv 12m + 3 \equiv 2m+3 \pmod{10}$。$a+b = 2m+9$ は奇数である。

(vi) $b=9$ のとき、$r=3$または$7$ なので、$r=3$ のとき、$a \equiv 6m + 0 \pmod{10}$ 。$a+b = 6m+9$ は奇数である。$r=7$ のとき、$a \equiv 14m + 4 \equiv 4m+4 \pmod{10}$ 。$a+b = 4m+13$ は奇数である。

したがって、$a+b$ が偶数となるのは、$b=0$ または $b=4$ のときである。

(2) 5桁以上の平方数 $n^2$ について、千の位、百の位、十の位、一の位がすべて同じ数 $k$ であるとする。このとき、$n^2$ は

$N = A \times 10000 + k \times 1111$ (ここで $A$ は $10000$ 以上の整数、$k$ は $0 \le k \le 9$ の整数) と表される。

$n^2 = A \times 10000 + 1111k = A \times 10000 + 1111k$

$n^2 \equiv 1111k \pmod{10000}$

$n^2 \equiv 1111 k \equiv 0 \pmod{16}$ かつ $n^2 \equiv 1111k \equiv 0 \pmod{625}$ を示せばよい。

$n^2$ が 10000 で割り切れるためには、$1111k$ が 10000 で割り切れる必要がある。

$1111k = 10000 m$ (ただし $m$ は整数) となる $k$ が存在するか考える。$k$ は0以上9以下の整数なので、$k=0$ のときのみ $m$ は整数となる。このとき、$n^2 = A \times 10000$ となり、 $n^2$ は10000で割り切れる。

$k=0$ は、千の位、百の位、十の位、一の位の数がすべて0であることを意味する。

したがって、$n^2$ が10000で割り切れる。

3. 最終的な答え

(1) $b$ は0または4である。

(2) その平方数は10000で割り切れる。