2でも3でも割り切れない自然数を小さい順に並べて数列 $\{a_n\}$ を作る。 (1) $a_n$ を $n$ で表せ。 (2) $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{2m-1}^2 + a_{2m}^2$ を $m$ で表せ。

1. 問題の内容

2でも3でも割り切れない自然数を小さい順に並べて数列 $\{a_n\}$ を作る。

(1) $a_n$ を $n$ で表せ。

(2) $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{2m-1}^2 + a_{2m}^2$ を $m$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

2でも3でも割り切れない自然数を小さい順に並べた数列 $\{a_n\}$ を考える。

2でも3でも割り切れない自然数は、6で割った余りが1または5となる数である。

$n$ 番目の数は、$6k+1$ または $6k+5$ の形をしている。

$n$ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... に対して、$a_n$ = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... となる。

数列 $\{a_n\}$ は、6で割った余りが1となる数と5となる数が交互に並んでいる。

$n$ が偶数のとき、$a_n = 6 \cdot \frac{n}{2} - 1 = 3n - 1$

$n$ が奇数のとき、$a_n = 6 \cdot \frac{n-1}{2} + 1 = 3(n-1) + 1 = 3n - 2$

したがって、

$a_n = \begin{cases} 3n-2 & (n \text{ が奇数のとき}) \\ 3n-1 & (n \text{ が偶数のとき}) \end{cases}$

これをまとめて書くと、$a_n = 3n - \frac{3+(-1)^n}{2}$ となる。

(2)

$S_m = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{2m-1}^2 + a_{2m}^2 = \sum_{k=1}^{2m} a_k^2$ を求める。

$\sum_{k=1}^{2m} a_k^2 = \sum_{k=1}^m a_{2k-1}^2 + \sum_{k=1}^m a_{2k}^2$

$= \sum_{k=1}^m (3(2k-1)-2)^2 + \sum_{k=1}^m (3(2k)-1)^2$

$= \sum_{k=1}^m (6k-5)^2 + \sum_{k=1}^m (6k-1)^2$

$= \sum_{k=1}^m (36k^2 - 60k + 25) + \sum_{k=1}^m (36k^2 - 12k + 1)$

$= \sum_{k=1}^m (72k^2 - 72k + 26)$

$= 72 \sum_{k=1}^m k^2 - 72 \sum_{k=1}^m k + 26 \sum_{k=1}^m 1$

$= 72 \cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 72 \cdot \frac{m(m+1)}{2} + 26m$

$= 12 m(m+1)(2m+1) - 36 m(m+1) + 26m$

$= 12m(2m^2+3m+1) - 36m^2 - 36m + 26m$

$= 24m^3 + 36m^2 + 12m - 36m^2 - 36m + 26m$

$= 24m^3 + 2m$

$= 2m(12m^2 + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - \frac{3+(-1)^n}{2}$

(2) $2m(12m^2 + 1)$