与えられた2階常微分方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = kx_0$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2階常微分方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = kx_0$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、非同次方程式を解くために、同次方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ の一般解を求め、その後、非同次方程式の特殊解を求めます。最後に、それらの解を足し合わせることで、非同次方程式の一般解が得られます。

(1) 同次方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ の一般解を求める。

この方程式は、特性方程式 $mr^2 + k = 0$ を持つ。

$r^2 = -\frac{k}{m}$

$r = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}$

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ と置くと、$r = \pm i \omega$ となり、同次方程式の一般解は次のようになる。

$x_h(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$

ここで、$A$と$B$は任意定数である。

(2) 非同次方程式 $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = kx_0$ の特殊解を求める。

特殊解を $x_p(t) = C$ と仮定する。ここで、$C$は定数である。このとき、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 0$ となるので、非同次方程式に代入すると、

$m(0) + kC = kx_0$

$kC = kx_0$

$C = x_0$

したがって、特殊解は $x_p(t) = x_0$ となる。

(3) 非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で表される。

$x(t) = x_h(t) + x_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) + x_0$

ここで、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ である。

3. 最終的な答え

$x(t) = A \cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + B \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + x_0$