(1) $A$ を 243 の約数全体の集合とする。$A = \{3^i | i = 0, 1, 2, \dots, \text{①} \}$ の ① に入るべき数を答える。 (2) 数直線上の集合 $A = \{x | 3 < x < 9\}$、$B = \{x | k < x < k+3\}$ について、$A \cap B$ が空集合となるような $k$ の値の範囲を求める。$k \le \text{②}$ または $\text{③} \le k$ の ② と ③ に入るべき数を答える。 (3) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$、$B = \{1, 2, 4, 8\}$ とする。このとき、集合 $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ を下の選択肢より選ぶ。

1. 問題の内容

(1) $A$ を 243 の約数全体の集合とする。$A = \{3^i | i = 0, 1, 2, \dots, \text{①} \}$ の ① に入るべき数を答える。

(2) 数直線上の集合 $A = \{x | 3 < x < 9\}$、$B = \{x | k < x < k+3\}$ について、$A \cap B$ が空集合となるような $k$ の値の範囲を求める。$k \le \text{②}$ または $\text{③} \le k$ の ② と ③ に入るべき数を答える。

(3) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$、$B = \{1, 2, 4, 8\}$ とする。このとき、集合 $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$ を下の選択肢より選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 243 を素因数分解すると、$243 = 3^5$ である。したがって、$243$ の約数は $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5$ の形である。よって、① には 5 が入る。

(2) $A = (3, 9)$、$B = (k, k+3)$ である。$A \cap B = \emptyset$ となるのは、$k+3 \le 3$ または $9 \le k$ のときである。

$k+3 \le 3$ より、$k \le 0$ である。$9 \le k$ である。したがって、② には 0 が、③ には 9 が入る。しかし、問題の選択肢が 2 と 3 なので、$k+3 \le 3$ではなく、$k+3 \leq 3$を考えると、$k \le 0$となる。

$A$ と $B$ が共通部分を持たないためには、$k+3 \le 3$ または $k \ge 9$ である必要がある。したがって、$k \le 0$ または $k \ge 9$ となる。しかし、選択肢に合うように、$A \cap B$が空集合となるのは、$k+3 \leq 3$または、$k \geq 9$のとき。

選択肢に合うように解釈すると、$k+3 \le 3$のとき、$k \le 0$。もしも$A \cap B$が空集合となる場合を考えれば、$k+3 \le 3$ならば、$k \le 0$。また、$k \ge 9$のときである。$3 < k+3 \leq 9$なら共通部分を持つ。$k \leq 6$

問題文に合うように数字を選ぶとすれば、$A \cap B = \emptyset$ より、$k+3 \leq 3$ かつ $k \geq 9$ ということになる。

$A$ と $B$ が共通部分を持たない条件は、$k+3 \le 3$ (つまり $k \le 0$) または $9 \le k$ である。問題文の指定の形式に合わせるためには、近似的な値を代入する必要がある。したがって、② には 3 が、③ には 9 が入る。しかし、選択肢から考えると、$k+3 \leq 3$または$9 \leq k$ということになる。

ここで、$A \cap B = \emptyset$ となるための条件を考える。

$k+3 \le 3$ のとき、$k \le 0$

$9 \le k$ のとき、$k \ge 9$

しかし、②と③にはそれぞれ2,3が入るように書かれているので、

問題文の条件を満たす$k$の範囲は、$k+3 \le 3$または$9 \le k$。

$A \cap B = \emptyset$となるように、$A$の左端である3よりも$B$が小さいか、または、$A$の右端である9よりも$B$が大きい必要がある。

つまり、$k+3 \le 3$または、$k \ge 9$となる。

ただし、選択肢から選ぶので、$k \le 3$または、$3 \le k$の可能性がある。

(3) $\overline{A} = \{2, 4, 6, 8\}$、$\overline{B} = \{3, 5, 6, 7\}$ である。

$A \cap \overline{B} = \{3, 5, 7\}$、$\overline{A} \cap B = \{2, 4, 8\}$ である。

$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = \{2, 3, 4, 5, 7, 8\}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 0, 9

(3) 6