$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ の2重根号を外して簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ の2重根号を外して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

2重根号を外すには、根号の中を $(a-b)^2$ の形に変形することを目指します。

まず、$\sqrt{2-\sqrt{3}}$ の根号の中を2倍します。同時に全体を$\sqrt{2}$で割ることで、値が変わらないようにします。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

根号の中身 $4-2\sqrt{3}$ を $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ の形にすることを考えます。

$a^2 + b^2 = 4$ かつ $ab = \sqrt{3}$ となる $a,b$ を探します。

$a = \sqrt{3}$ , $b = 1$ とすると、$(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ かつ $\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$となり、条件を満たします。

よって、$4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$ となります。

$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{3} > 1$ なので、$|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$ です。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$