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$(\sqrt{20} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{27})$ を計算せよ。

算数根号計算平方根
2025/6/22

1. 問題の内容

(20+3)(5−27)(\sqrt{20} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{27}) を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を簡単にします。
20=4×5=25\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
与えられた式に代入すると、
(25+3)(5−33)(2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - 3\sqrt{3})
展開すると、
25×5+25×(−33)+3×5+3×(−33)2\sqrt{5} \times \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \times (-3\sqrt{3}) + \sqrt{3} \times \sqrt{5} + \sqrt{3} \times (-3\sqrt{3})
=2×5−615+15−3×3= 2 \times 5 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \times 3
=10−615+15−9= 10 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 9
=10−9−615+15= 10 - 9 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15}
=1−515= 1 - 5\sqrt{15}

3. 最終的な答え

1−5151 - 5\sqrt{15}

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