問題はかけ算九九の表の一部から取り出した4つの整数の組について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $(a+d) - (b+c)$ の値が常に一定になることを示し、その値を求める。 (2) (1)で求めた値になることを証明する。ただし、左上の数を $a$ とし、$a$ はかけられる数 $x$ とかける数 $y$ の積とする。

1. 問題の内容

問題はかけ算九九の表の一部から取り出した4つの整数の組について、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $(a+d) - (b+c)$ の値が常に一定になることを示し、その値を求める。

(2) (1)で求めた値になることを証明する。ただし、左上の数を $a$ とし、$a$ はかけられる数 $x$ とかける数 $y$ の積とする。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた例から $(a+d) - (b+c)$ の値を計算してみます。

$a = 6$, $b = 9$, $c = 8$, $d = 12$ なので、

$(a+d) - (b+c) = (6+12) - (9+8) = 18 - 17 = 1$

他の例でも計算してみましょう。例えば、表から

$a = 1$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 4$ を選ぶと、

$(a+d) - (b+c) = (1+4) - (2+2) = 5 - 4 = 1$

$a = 16$, $b = 20$, $c = 20$, $d = 25$ を選ぶと、

$(a+d) - (b+c) = (16+25) - (20+20) = 41 - 40 = 1$

いくつかの例から $(a+d) - (b+c)$ の値は常に1になることが予想されます。

(2)

$a$ はかけられる数 $x$ とかける数 $y$ の積なので、$a = xy$ と表せる。

すると、$b$ は $x$ に $y+1$ をかけたものなので $b = x(y+1)$ 。

同様に、$c$ は $x+1$ に $y$ をかけたものなので $c = (x+1)y$ 。

そして、$d$ は $x+1$ に $y+1$ をかけたものなので $d = (x+1)(y+1)$ 。

したがって、

$(a+d) - (b+c) = (xy + (x+1)(y+1)) - (x(y+1) + (x+1)y)$

$= (xy + xy + x + y + 1) - (xy + x + xy + y)$

$= 2xy + x + y + 1 - 2xy - x - y$

$= 1$

これで $(a+d) - (b+c) = 1$ であることが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) (証明は上記参照)