数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \dots$ において、$\frac{2}{15}$ は第何項か求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \dots$ において、$\frac{2}{15}$ は第何項か求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列の規則性を見つける。

分母が $2$ のとき、分子は $1$。

分母が $3$ のとき、分子は $1, 2$。

分母が $4$ のとき、分子は $1, 2, 3$。

分母が $5$ のとき、分子は $1, 2, 3, 4$。

一般に、分母が $n$ のとき、分子は $1, 2, \dots, n-1$。

分母が $n$ の項数は $n-1$ 個。

分母が $15$ の項を探しているので、分母が $14$ までの項数を数える。

分母が $2$ から $14$ までの項数の合計は

$\sum_{k=2}^{14} (k-1) = \sum_{k=1}^{13} k = \frac{13 \times (13+1)}{2} = \frac{13 \times 14}{2} = 13 \times 7 = 91$。

したがって、分母が $14$ までの項数は $91$。

分母が $15$ のとき、数列は $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \frac{3}{15}, \dots, \frac{14}{15}$ と続く。

$\frac{2}{15}$ は、分母が $15$ の数列の $2$ 番目の項。

したがって、$\frac{2}{15}$ は全体の数列の $91 + 2 = 93$ 番目の項。

3. 最終的な答え

93項