8人の生徒を以下の条件で組分けする方法の数をそれぞれ求めます。 (1) 4人ずつA, Bの2組 (2) 4人ずつ2組 (3) 5人, 3人の2組

1. 問題の内容

8人の生徒を以下の条件で組分けする方法の数をそれぞれ求めます。

(1) 4人ずつA, Bの2組

(2) 4人ずつ2組

(3) 5人, 3人の2組

2. 解き方の手順

(1) 4人ずつA, Bの2組に分ける場合

まず、8人からA組の4人を選ぶ組み合わせを計算します。残りの4人は自動的にB組になります。組み合わせの数は$_{8}C_{4}$で計算できます。

$_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(2) 4人ずつ2組に分ける場合

まず、8人から一方の組の4人を選ぶ組み合わせを計算します。残りの4人は自動的にもう一方の組になります。しかし、この場合、2つの組に区別がないため、(1)で計算した数を2で割る必要があります。

$\frac{_{8}C_{4}}{2} = \frac{70}{2} = 35$

(3) 5人, 3人の2組に分ける場合

まず、8人から5人を選ぶ組み合わせを計算します。残りの3人は自動的にもう一方の組になります。組み合わせの数は$_{8}C_{5}$で計算できます。または、8人から3人を選び、残りの5人をもう一方の組とする$_{8}C_{3}$を計算しても同じ結果になります。

$_{8}C_{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

3. 最終的な答え

(1) 70通り

(2) 35通り

(3) 56通り