与えられた条件を満たす整数の組(x, y, z)の個数を求める問題です。 (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ (2) $1 \le x < y < z \le 5$ (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答していきます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす整数の組(x, y, z)の個数を求める問題です。

(1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$

(2) $1 \le x < y < z \le 5$

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$

2. 解き方の手順

(1) x, y, zそれぞれが1から5までの値を取れるので、組み合わせの総数は$5 \times 5 \times 5$で計算できます。

(2) 1から5の中から異なる3つの整数を選び、小さい順にx, y, zとすればよいので、組み合わせの数は $_5C_3$ で求められます。

(3) これは重複組み合わせの問題です。5個の数字から重複を許して3個選ぶ組み合わせを求めます。$_nH_r = _{n+r-1}C_r$という公式を用いることができます。

(4) これは仕切りの考え方を利用します。5個の〇を3つのグループに分ける仕切りの数を考えます。仕切りは2つ必要なので、〇5個と仕切り2個の並べ方を考えればよいです。

(5) x, y, zがそれぞれ1以上なので、まずx, y, zに1ずつ与えておきます。すると、残りは2なので、$x' + y' + z' = 2$, $x' \ge 0$, $y' \ge 0$, $z' \ge 0$を満たす整数の組(x', y', z')の個数を求めればよいことになります。(4)と同様に、仕切りの考え方を利用します。

3. 最終的な答え

(1) $5 \times 5 \times 5 = 125$

答え: 125組

(2) $_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$

答え: 10組

(3) $_5H_3 = _{5+3-1}C_3 = _7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

答え: 35組

(4) $5 + 2 = 7$個の場所から仕切り2個の場所を選ぶので、$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

答え: 21組

(5) $2 + 2 = 4$個の場所から仕切り2個の場所を選ぶので、$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

答え: 6組