与えられた数列 $ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \dots $ において、$\frac{2}{15}$ が第何項であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \dots$ において、$\frac{2}{15}$ が第何項であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の規則性から、分母が $n$ である項は $n-1$ 個存在します。

分母が2から14までの項数を合計し、その後、分母が15である項のうち、分子が2である項が何番目であるかを考えます。

まず、分母が2から14までの項数を合計します。これは、

$1 + 2 + 3 + \dots + 13 = \sum_{k=1}^{13} k$

で表されます。等差数列の和の公式を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{13} k = \frac{13(13+1)}{2} = \frac{13 \times 14}{2} = 13 \times 7 = 91$

となります。

次に、分母が15である項のうち、分子が2である項は、分母が15の項の中で2番目です。

したがって、$\frac{2}{15}$ は、数列全体の $91 + 2 = 93$ 番目の項となります。

3. 最終的な答え

93項