横が縦より5cm長い長方形の紙の4隅から1辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったところ、容積が132 $cm^3$になった。紙の縦の長さを求める。

1. 問題の内容

横が縦より5cm長い長方形の紙の4隅から1辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったところ、容積が132 $cm^3$になった。紙の縦の長さを求める。

2. 解き方の手順

紙の縦の長さを $x$ cmとする。

- 容器の縦の長さは、元の紙の縦の長さから上下の2cmを引いたものなので、$x - 2 \times 2 = x - 4$ cmとなる。

- 容器の横の長さは、元の紙の横の長さから左右の2cmを引いたものになる。元の紙の横の長さは縦の長さより5cm長いので、$x + 5$ cm。従って、容器の横の長さは$(x + 5) - 2 \times 2 = x + 5 - 4 = x + 1$ cmとなる。

- 容器の高さは2cm。

容器の体積は、縦×横×高さで計算できるので、

$2(x-4)(x+1) = 132$

$(x-4)(x+1) = 66$

$x^2 + x - 4x - 4 = 66$

$x^2 - 3x - 4 - 66 = 0$

$x^2 - 3x - 70 = 0$

$(x-10)(x+7) = 0$

$x = 10, -7$

縦の長さは正である必要があるので、$x = -7$は不適。したがって、$x = 10$。

3. 最終的な答え

紙の縦をxcmとすると、できる容器の縦の長さは $x-4$ 、横の長さは $x+1$、高さは2cmと表される。容積が132 $cm^3$であるから、 $2(x-4)(x+1) = 132$ 。この方程式を解くと、$x=-7$, $x=10$。 $x>0$ でなければならないから、紙の縦は10となる。