赤玉5個、白玉5個、青玉7個の合計17個の玉がある。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が1つずつ書かれており、青玉には1から7までの数字が1つずつ書かれている。この17個の玉の中から、同時に3個の玉を取り出す。 (1) 取り出した3個の玉が青玉であるような取り出し方は何通りあるか。 (2) 取り出した3個の玉が、3個とも同じ色であるような取り出し方は何通りあるか。また、3個の玉の色が2色であるような取り出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

赤玉5個、白玉5個、青玉7個の合計17個の玉がある。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が1つずつ書かれており、青玉には1から7までの数字が1つずつ書かれている。この17個の玉の中から、同時に3個の玉を取り出す。

(1) 取り出した3個の玉が青玉であるような取り出し方は何通りあるか。

(2) 取り出した3個の玉が、3個とも同じ色であるような取り出し方は何通りあるか。また、3個の玉の色が2色であるような取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 取り出した3個の玉が青玉であるような取り出し方の数を求める。

青玉は7個あるので、7個から3個を選ぶ組み合わせを計算する。

組み合わせの公式は、$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ である。

したがって、青玉3個の取り出し方は、

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(2) 取り出した3個の玉が同じ色であるような取り出し方の数を求める。

3個とも赤玉の場合: $_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

3個とも白玉の場合: $_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

3個とも青玉の場合: (1)で求めたように35通り。

したがって、3個とも同じ色の玉であるような取り出し方は、$10 + 10 + 35 = 55$ 通り。

次に、3個の玉の色が2色であるような取り出し方の数を求める。

まず、3個の玉の取り出し方の総数は、$_{17}C_{3} = \frac{17!}{3!14!} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = 680$ 通り。

3個の玉の色の組み合わせは、1色、2色、3色のいずれかである。

1色の場合 (3個とも同じ色) は55通りと求めた。

3色の場合 (赤、白、青が各1個) は $5 \times 5 \times 7 = 175$ 通り。

したがって、2色の場合の数は、総数から1色と3色の場合の数を引けばよい。

$680 - 55 - 175 = 450$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 55通り、450通り