男子4人、女子3人がいる。次の条件を満たすように7人が1列に並ぶ並び方の総数を求めよ。 (1) 男子が両端にくる。 (2) 男子が隣り合わない。 (3) 女子のうち2人だけが隣り合う。

1. 問題の内容

男子4人、女子3人がいる。次の条件を満たすように7人が1列に並ぶ並び方の総数を求めよ。

(1) 男子が両端にくる。

(2) 男子が隣り合わない。

(3) 女子のうち2人だけが隣り合う。

2. 解き方の手順

(1) 男子が両端にくる場合

両端に並べる男子の選び方は ${}_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの5人の並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

よって、並び方の総数は $12 \times 120 = 1440$ 通り。

(2) 男子が隣り合わない場合

まず女子3人を並べる。並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

次に、女子3人の間の2箇所と両端の2箇所、合計4箇所のうち4箇所を選んで男子4人を並べる。

4箇所から4箇所を選ぶのは1通り。男子の並び方は ${}_4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

よって、並び方の総数は $6 \times 24 = 144$ 通り。

(3) 女子のうち2人だけが隣り合う場合

まず隣り合う女子2人の選び方は ${}_3C_2 = 3$ 通り。

この2人をひとまとめにして「女子ペア」と考える。残りの女子1人を「女子シングル」と呼ぶ。

「女子ペア」と「女子シングル」と男子4人の合計6人を並べる。

まず「女子ペア」と「女子シングル」を並べるときの隙間に男子が入ることを考える。

「女子ペア」を1つのグループとして、そのペアの中の並び方は $2! = 2$ 通り。

「女子ペア」と「女子シングル」と男子4人の合計6人を並べる際、「女子ペア」と「女子シングル」が隣り合わないように並べる必要がある。まず男子4人を並べると、$4! = 24$ 通り。

男子4人の間の3箇所と両端の2箇所、合計5箇所のうち2箇所に「女子ペア」と「女子シングル」を入れる方法を考える。

5箇所から2箇所を選ぶ並べ方は ${}_5P_2 = 5 \times 4 = 20$ 通り。

したがって、並び方の総数は $3 \times 24 \times 2 \times 20 = 2880$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 144通り

(3) 2880通り