10本のくじの中に当たりくじが3本入っています。この中から2本を同時に引くとき、少なくとも1本は当たりくじである確率を求めてください。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが3本入っています。この中から2本を同時に引くとき、少なくとも1本は当たりくじである確率を求めてください。

2. 解き方の手順

少なくとも1本が当たりくじである確率を求めるには、余事象の確率を利用するのが簡単です。

余事象とは、「少なくとも1本が当たり」ではない事象、つまり「2本とも外れ」を引く事象です。

まず、10本から2本引くすべての組み合わせの数を計算します。これは $_{10}C_2$ で表されます。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

次に、2本とも外れを引く組み合わせの数を計算します。外れくじは7本あるので、これは $_{7}C_2$ で表されます。

$_{7}C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

したがって、2本とも外れを引く確率は $\frac{21}{45}$ となります。

少なくとも1本が当たりくじである確率は、1からこの余事象の確率を引くことで求められます。

$1 - \frac{21}{45} = \frac{45 - 21}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

少なくとも1本は当たる確率は $\frac{8}{15}$ です。