ピスタチオの袋詰めを機械AとBで行っている工場がある。 確率変数Xは、袋詰めを行った機械がAであれば0、Bであれば1をとる。 確率変数Yは、袋詰めされたピスタチオが規格通りであれば0、規格より小さいピスタチオが混ざっていれば1をとる。 機械Aが全体の70%の袋詰めを行い、機械Bが残りの30%の袋詰めを行っている。 機械AとBのいずれも10%の確率で規格より小さいピスタチオが袋に混じってしまう。 ランダムに1つ検品したところ、規格より小さいピスタチオが混じっていた。 この検品した袋が機械Aで作られたものである確率、すなわち $P(X=0 | Y=1)$ を求める。

1. 問題の内容

ピスタチオの袋詰めを機械AとBで行っている工場がある。

確率変数Xは、袋詰めを行った機械がAであれば0、Bであれば1をとる。

確率変数Yは、袋詰めされたピスタチオが規格通りであれば0、規格より小さいピスタチオが混ざっていれば1をとる。

機械Aが全体の70%の袋詰めを行い、機械Bが残りの30%の袋詰めを行っている。

機械AとBのいずれも10%の確率で規格より小さいピスタチオが袋に混じってしまう。

ランダムに1つ検品したところ、規格より小さいピスタチオが混じっていた。

この検品した袋が機械Aで作られたものである確率、すなわち $P(X=0 | Y=1)$ を求める。

2. 解き方の手順

ベイズの定理を用いる。求める確率は、

$P(X=0 | Y=1) = \frac{P(Y=1 | X=0) P(X=0)}{P(Y=1)}$

ここで、

$P(X=0)$ は機械Aで作られた確率なので、 $P(X=0) = 0.7$

$P(Y=1 | X=0)$ は機械Aで作られた袋に規格より小さいピスタチオが混ざっている確率なので、 $P(Y=1 | X=0) = 0.1$

$P(Y=1)$ は規格より小さいピスタチオが混ざっている確率であり、これは機械Aで作られた袋と機械Bで作られた袋の場合を考慮する必要がある。

$P(Y=1) = P(Y=1 | X=0)P(X=0) + P(Y=1 | X=1)P(X=1)$

$P(X=1)$ は機械Bで作られた確率なので、 $P(X=1) = 0.3$

$P(Y=1 | X=1)$ は機械Bで作られた袋に規格より小さいピスタチオが混ざっている確率なので、 $P(Y=1 | X=1) = 0.1$

したがって、

$P(Y=1) = (0.1)(0.7) + (0.1)(0.3) = 0.07 + 0.03 = 0.1$

求める確率を計算する。

$P(X=0 | Y=1) = \frac{(0.1)(0.7)}{0.1} = 0.7 = \frac{7}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{10}$