1個のサイコロを投げ、偶数が出たら出た目の半分を得点、奇数が出たら出た目そのままを得点とする。サイコロを$n$回投げた時の得点合計について、以下の確率を求める。 (1) サイコロを2回投げた時、得点合計が6になる確率 (2) サイコロを4回投げた時、得点合計が10になる確率 (3) サイコロを4回投げ、2回目に5または6の目が出た時、得点合計が10になる確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げ、偶数が出たら出た目の半分を得点、奇数が出たら出た目そのままを得点とする。サイコロを$n$回投げた時の得点合計について、以下の確率を求める。

(1) サイコロを2回投げた時、得点合計が6になる確率

(2) サイコロを4回投げた時、得点合計が10になる確率

(3) サイコロを4回投げ、2回目に5または6の目が出た時、得点合計が10になる確率

2. 解き方の手順

(1) 2回投げて合計が6になる場合を考える。1回の試行で得られる点数は、1, 2, 3, 4, 5, 6のいずれかである。

- 1回目1, 2回目5: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

- 1回目2, 2回目4: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

- 1回目3, 2回目3: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

- 1回目4, 2回目2: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

- 1回目5, 2回目1: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

- 1回目6, 2回目0（ありえない）:

これらの確率を合計すると

$\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}= \frac{5}{36}$

(2) 4回投げて合計が10になる場合を考える。これは少し複雑なので、ありうる組み合わせを考えていく。

合計10を作る組み合わせはたくさんあるが、例えば以下のようなものがある。

- (1, 1, 3, 5), (1, 1, 4, 4), (1, 2, 3, 4), (1, 2, 2, 5)など。

それぞれの組み合わせにおいて、サイコロの出目の順序を考慮する必要がある。

例えば(1, 1, 3, 5)の場合、$4!/2! = 12$通りの組み合わせが存在する。

同様に(1, 1, 4, 4)の場合、$4!/(2!2!) = 6$通りの組み合わせが存在する。

全ての場合を洗い出し、それぞれの確率を計算し、合計することで確率を求められるが、計算が煩雑になる。

より簡単な方法として、得点の期待値と分散を用いる方法が考えられるが、計算量が減るわけではない。

ここでは、力技で計算することを考える。

可能な組み合わせをリストアップし、各組み合わせの確率を計算する。

場合分けが非常に多く大変なので、省略します。

(3) 2回目に5または6が出たという条件の下で、合計が10になる確率を求める。

この場合、2回目の出目が確定しているので、残りの3回の合計がある程度限定される。

- 2回目に5が出た場合、残りの3回の合計は5になる必要がある。

- 2回目に6が出た場合、残りの3回の合計は7になる必要がある。

それぞれの場合について、ありうる組み合わせを考え、確率を計算する。

- 2回目に5が出た場合： 残り3回の合計が5になる。

(1,1,3) -> $3!/2! = 3$通り

(1,2,2) -> $3!/2! = 3$通り

確率は $\frac{1}{6} \times (\frac{3}{6^3} + \frac{3}{6^3}) = \frac{1}{6} \times \frac{6}{216} = \frac{1}{216}$

- 2回目に6が出た場合：残り3回の合計が7になる。

(1,1,5) -> $3!/2! = 3$通り

(1,2,4) -> $3! = 6$通り

(1,3,3) -> $3!/2! = 3$通り

(2,2,3) -> $3!/2! = 3$通り

確率は $\frac{1}{6} \times (\frac{3}{6^3} + \frac{6}{6^3} + \frac{3}{6^3} + \frac{3}{6^3}) = \frac{1}{6} \times \frac{15}{216} = \frac{5}{432}$

合計の確率は $\frac{1}{216} + \frac{5}{432} = \frac{2+5}{432} = \frac{7}{432}$

条件付き確率は、上記の確率を2回目に5または6が出る確率で割ったものである。

2回目に5または6が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

求める確率は $\frac{7/432}{1/3} = \frac{7}{432} \times 3 = \frac{7}{144}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{36}$

(2) 計算省略

(3) $\frac{7}{144}$