連続確率変数 $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ が与えられています。 $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & -1 \le x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ この確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。

1. 問題の内容

連続確率変数 $X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ が与えられています。

$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & -1 \le x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

この確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E[X]$ を求めます。期待値は、確率密度関数を用いて次のように計算できます。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$

与えられた確率密度関数では、積分範囲は $[-1, 1)$ です。

$E[X] = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x dx$

$E[X] = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

次に、分散 $V[X]$ を求めます。分散は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ で計算できます。

まず、$E[X^2]$ を求めます。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 dx$

$E[X^2] = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

分散は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{3} - (0)^2 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

期待値 $E[X] = 0$

分散 $V[X] = \frac{1}{3}$