1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目×50円が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに150円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金 - 参加費）を確率変数Xで表すとき、Xの分散V[X]を求めなさい。

1. 問題の内容

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目×50円が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに150円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金 - 参加費）を確率変数Xで表すとき、Xの分散V[X]を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、確率変数Xが取りうる値を求めます。サイコロの目が1から6なので、賞金はそれぞれ50円、100円、150円、200円、250円、300円となります。参加費が150円なので、Xの値は以下のようになります。

X = {50 - 150, 100 - 150, 150 - 150, 200 - 150, 250 - 150, 300 - 150}

X = {-100, -50, 0, 50, 100, 150}

次に、Xの期待値E[X]を計算します。各目の出る確率は等しいので、1/6です。

$E[X] = \frac{1}{6}(-100) + \frac{1}{6}(-50) + \frac{1}{6}(0) + \frac{1}{6}(50) + \frac{1}{6}(100) + \frac{1}{6}(150)$

$E[X] = \frac{1}{6}(-100 - 50 + 0 + 50 + 100 + 150)$

$E[X] = \frac{1}{6}(150)$

$E[X] = 25$

次に、Xの二乗の期待値E[X^2]を計算します。

$E[X^2] = \frac{1}{6}(-100)^2 + \frac{1}{6}(-50)^2 + \frac{1}{6}(0)^2 + \frac{1}{6}(50)^2 + \frac{1}{6}(100)^2 + \frac{1}{6}(150)^2$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(10000 + 2500 + 0 + 2500 + 10000 + 22500)$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(47500)$

$E[X^2] = \frac{47500}{6} = \frac{23750}{3}$

最後に、Xの分散V[X]を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$V[X] = \frac{23750}{3} - (25)^2$

$V[X] = \frac{23750}{3} - 625$

$V[X] = \frac{23750}{3} - \frac{1875}{3}$

$V[X] = \frac{21875}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{21875}{3}$