1個のサイコロを投げて、偶数が出たら出た目の半分を得点、奇数が出たら出た目の数を得点とする。このとき、以下の確率を求める。 (1) サイコロを2回投げたとき、得点の合計が6になる確率 (2) サイコロを4回投げたとき、得点の合計が10になる確率 (3) サイコロを4回投げて、2回目に5または6の目が出たとき、得点の合計が10になる確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げて、偶数が出たら出た目の半分を得点、奇数が出たら出た目の数を得点とする。このとき、以下の確率を求める。

(1) サイコロを2回投げたとき、得点の合計が6になる確率

(2) サイコロを4回投げたとき、得点の合計が10になる確率

(3) サイコロを4回投げて、2回目に5または6の目が出たとき、得点の合計が10になる確率

2. 解き方の手順

(1) 2回投げて得点の合計が6になる場合を考える。

1回目の出目を$x$, 2回目の出目を$y$とする。それぞれの得点を$s(x)$, $s(y)$とすると、$s(x) + s(y) = 6$を満たす$x, y$を求める。

$x$と$y$は1から6までの整数である。

・$x$が偶数のとき、$s(x) = x/2$。$x$が奇数のとき、$s(x) = x$。

・$y$が偶数のとき、$s(y) = y/2$。$y$が奇数のとき、$s(y) = y$。

考えられる組み合わせは以下の通り：

- $x=1$, $s(x) = 1$, $s(y) = 5$, $y=5$

- $x=2$, $s(x) = 1$, $s(y) = 5$, $y=5$

- $x=3$, $s(x) = 3$, $s(y) = 3$, $y=3$

- $x=4$, $s(x) = 2$, $s(y) = 4$, $y=4$

- $x=5$, $s(x) = 5$, $s(y) = 1$, $y=1$

- $x=6$, $s(x) = 3$, $s(y) = 3$, $y=3$

上記の組み合わせは $(1,5), (2,5), (3,3), (4,4), (5,1), (6,3)$の6通り。

サイコロの目の出方は$6 \times 6 = 36$通りなので、確率は $6/36 = 1/6$。

(2) 4回投げて得点の合計が10になる場合を考える。

これは計算が大変なので、場合分けを減らすことを意識する。

4回の得点の合計が10になる組み合わせをすべて列挙するのは難しい。

この問題は保留する。

(3) 4回投げて2回目に5または6が出て、合計が10になる確率を考える。

2回目に5が出た場合、その得点は5。残りの3回の合計は5になる必要がある。

2回目に6が出た場合、その得点は3。残りの3回の合計は7になる必要がある。

2回目に5が出た場合: 残りの3回の合計が5になる組み合わせを考える。組み合わせは以下の通り。

1,1,3

1,2,2

合計が5になる組み合わせは、(1,1,3) および (1,2,2) の順列である。

(1,1,3)の順列は3通り、(1,2,2)の順列は3通り。

1,1,3 の場合: (1,1,3),(1,3,1),(3,1,1)

1,2,2 の場合: (1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)

2回目に6が出た場合：残りの3回の合計が7になる組み合わせを考える。組み合わせは以下の通り。

1,2,4

1,3,3

2,2,3

合計が7になる組み合わせは、(1,2,4), (1,3,3), (2,2,3)の順列である。

(1,2,4)の順列は3!=6通り、(1,3,3)の順列は3通り、(2,2,3)の順列は3通り。

1,2,4の場合: (1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1)

1,3,3の場合: (1,3,3),(3,1,3),(3,3,1)

2,2,3の場合: (2,2,3),(2,3,2),(3,2,2)

よって、場合の数は、2回目に5が出た場合が6通り。2回目に6が出た場合が12通り。合計18通り。

全事象は、2回目が5か6であることから、2 * 6^4 = 2 * 1296 = 2592通り

求める確率は18/2592 = 1/144

(1)について再確認する

(1,5): 1/6 * 1/6

(2,5): 1/6 * 1/6

(3,3): 1/6 * 1/6

(4,4): 1/6 * 1/6

(5,1): 1/6 * 1/6

(6,3): 1/6 * 1/6

よって、確率は$6 \times (1/6) \times (1/6) = 6/36 = 1/6$

3. 最終的な答え

(1) 1/6

(2) 解けませんでした。

(3) 1/144