1から6の目が等しい確率で出るサイコロを5個同時に投げます。5個のサイコロの出目の和を表す確率変数を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求める問題です。

1. 問題の内容

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを5個同時に投げます。5個のサイコロの出目の和を表す確率変数を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E[X]$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

サイコロ1個の出目の期待値をまず求めます。

1から6の目が等しい確率で出るので、サイコロ1個の出目の期待値 $E[X_1]$ は

$E[X_1] = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2 + \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{6} \times 5 + \frac{1}{6} \times 6 = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

となります。

5個のサイコロの出目の和を $X$ とすると、

$X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5$

ここで、$X_i$ は $i$ 番目のサイコロの出目を表します。

期待値の線形性より、

$E[X] = E[X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3] + E[X_4] + E[X_5]$

それぞれのサイコロの期待値は $\frac{7}{2}$ なので、

$E[X] = 5 \times \frac{7}{2} = \frac{35}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{35}{2}$