猫の数 $X$ と犬の数 $Y$ の同時確率分布が与えられています。このとき、$X$ と $Y$ の共分散 $Cov[X, Y]$ と相関係数 $\rho[X, Y]$ を小数第2位まで求める必要があります。

1. 問題の内容

猫の数 $X$ と犬の数 $Y$ の同時確率分布が与えられています。このとき、$X$ と $Y$ の共分散 $Cov[X, Y]$ と相関係数 $\rho[X, Y]$ を小数第2位まで求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ の期待値 $E[X]$ と $E[Y]$ を計算します。次に、$E[XY]$ を計算します。

その後、$Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]$ を計算します。最後に、$X$ と $Y$ の標準偏差 $\sigma_X$ と $\sigma_Y$ を計算し、$\rho[X, Y] = \frac{Cov[X, Y]}{\sigma_X \sigma_Y}$ を計算します。

まず、$X$ の周辺確率分布を求めます。

$P(X=0) = 0.20 + 0.15 + 0.14 = 0.49$

$P(X=1) = 0.11 + 0.13 + 0.10 = 0.34$

$P(X=2) = 0.07 + 0.09 + 0.01 = 0.17$

次に、$Y$ の周辺確率分布を求めます。

$P(Y=0) = 0.20 + 0.11 + 0.07 = 0.38$

$P(Y=1) = 0.15 + 0.13 + 0.09 = 0.37$

$P(Y=2) = 0.14 + 0.10 + 0.01 = 0.25$

$X$ の期待値 $E[X]$ を計算します。

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 \cdot 0.49 + 1 \cdot 0.34 + 2 \cdot 0.17 = 0.34 + 0.34 = 0.68$

$Y$ の期待値 $E[Y]$ を計算します。

$E[Y] = 0 \cdot P(Y=0) + 1 \cdot P(Y=1) + 2 \cdot P(Y=2) = 0 \cdot 0.38 + 1 \cdot 0.37 + 2 \cdot 0.25 = 0.37 + 0.50 = 0.87$

$E[XY]$ を計算します。

$E[XY] = \sum_{x,y} xy P(X=x, Y=y)$

$E[XY] = 0\cdot0\cdot0.20 + 0\cdot1\cdot0.15 + 0\cdot2\cdot0.14 + 1\cdot0\cdot0.11 + 1\cdot1\cdot0.13 + 1\cdot2\cdot0.10 + 2\cdot0\cdot0.07 + 2\cdot1\cdot0.09 + 2\cdot2\cdot0.01$

$E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.13 + 0.20 + 0 + 0.18 + 0.04 = 0.55$

共分散 $Cov[X, Y]$ を計算します。

$Cov[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y] = 0.55 - (0.68)(0.87) = 0.55 - 0.5916 = -0.0416$

$X^2$ の期待値 $E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = 0^2 \cdot 0.49 + 1^2 \cdot 0.34 + 2^2 \cdot 0.17 = 0 + 0.34 + 4 \cdot 0.17 = 0.34 + 0.68 = 1.02$

$Y^2$ の期待値 $E[Y^2]$ を計算します。

$E[Y^2] = 0^2 \cdot 0.38 + 1^2 \cdot 0.37 + 2^2 \cdot 0.25 = 0 + 0.37 + 4 \cdot 0.25 = 0.37 + 1 = 1.37$

$X$ の分散 $Var[X]$ を計算します。

$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 1.02 - (0.68)^2 = 1.02 - 0.4624 = 0.5576$

$X$ の標準偏差 $\sigma_X = \sqrt{Var[X]} = \sqrt{0.5576} \approx 0.7467$

$Y$ の分散 $Var[Y]$ を計算します。

$Var[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 1.37 - (0.87)^2 = 1.37 - 0.7569 = 0.6131$

$Y$ の標準偏差 $\sigma_Y = \sqrt{Var[Y]} = \sqrt{0.6131} \approx 0.7830$

相関係数 $\rho[X, Y]$ を計算します。

$\rho[X, Y] = \frac{Cov[X, Y]}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-0.0416}{0.7467 \cdot 0.7830} = \frac{-0.0416}{0.5846} \approx -0.0711$

3. 最終的な答え

$Cov[X, Y] = -0.04$

$\rho[X, Y] = -0.07$