猫の数 $X$ と犬の数 $Y$ の同時確率分布が与えられています。この分布から、$X$ と $Y$ の期待値 $E[X]$、$E[Y]$ と分散 $V[X]$、$V[Y]$ を計算します。

1. 問題の内容

猫の数 $X$ と犬の数 $Y$ の同時確率分布が与えられています。この分布から、$X$ と $Y$ の期待値 $E[X]$、$E[Y]$ と分散 $V[X]$、$V[Y]$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、周辺確率を計算します。

$P(X=x) = \sum_{y} P(X=x, Y=y)$

$P(Y=y) = \sum_{x} P(X=x, Y=y)$

周辺確率分布:

$P(X=0) = 0.20 + 0.15 + 0.14 = 0.49$

$P(X=1) = 0.11 + 0.13 + 0.10 = 0.34$

$P(X=2) = 0.07 + 0.09 + 0.01 = 0.17$

$P(Y=0) = 0.20 + 0.11 + 0.07 = 0.38$

$P(Y=1) = 0.15 + 0.13 + 0.09 = 0.37$

$P(Y=2) = 0.14 + 0.10 + 0.01 = 0.25$

期待値の計算:

$E[X] = \sum_{x} x P(X=x) = 0 * 0.49 + 1 * 0.34 + 2 * 0.17 = 0 + 0.34 + 0.34 = 0.68$

$E[Y] = \sum_{y} y P(Y=y) = 0 * 0.38 + 1 * 0.37 + 2 * 0.25 = 0 + 0.37 + 0.50 = 0.87$

分散の計算:

$E[X^2] = \sum_{x} x^2 P(X=x) = 0^2 * 0.49 + 1^2 * 0.34 + 2^2 * 0.17 = 0 + 0.34 + 0.68 = 1.02$

$E[Y^2] = \sum_{y} y^2 P(Y=y) = 0^2 * 0.38 + 1^2 * 0.37 + 2^2 * 0.25 = 0 + 0.37 + 1.00 = 1.37$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 1.02 - (0.68)^2 = 1.02 - 0.4624 = 0.5576 \approx 0.56$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 1.37 - (0.87)^2 = 1.37 - 0.7569 = 0.6131 \approx 0.61$

3. 最終的な答え

E[X]: 0.68

E[Y]: 0.87

V[X]: 0.56

V[Y]: 0.61