猫の数 $X$ と犬の数 $Y$ の同時確率分布が与えられたとき、共分散 $Cov[X, Y]$ と相関係数 $\rho[X, Y]$ を求める問題です。 共分散は既に -0.04 と求まっています。

1. 問題の内容

猫の数 $X$ と犬の数 $Y$ の同時確率分布が与えられたとき、共分散 $Cov[X, Y]$ と相関係数 $\rho[X, Y]$ を求める問題です。 共分散は既に -0.04 と求まっています。

2. 解き方の手順

まず、周辺確率を計算します。

$P(X=0) = 0.20 + 0.15 + 0.14 = 0.49$

$P(X=1) = 0.11 + 0.13 + 0.10 = 0.34$

$P(X=2) = 0.07 + 0.09 + 0.01 = 0.17$

$P(Y=0) = 0.20 + 0.11 + 0.07 = 0.38$

$P(Y=1) = 0.15 + 0.13 + 0.09 = 0.37$

$P(Y=2) = 0.14 + 0.10 + 0.01 = 0.25$

次に、期待値を計算します。

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 + 0.34 + 2 \cdot 0.17 = 0.34 + 0.34 = 0.68$

$E[Y] = 0 \cdot P(Y=0) + 1 \cdot P(Y=1) + 2 \cdot P(Y=2) = 0 + 0.37 + 2 \cdot 0.25 = 0.37 + 0.50 = 0.87$

次に、分散を計算します。

$E[X^2] = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) = 0 + 0.34 + 4 \cdot 0.17 = 0.34 + 0.68 = 1.02$

$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 1.02 - (0.68)^2 = 1.02 - 0.4624 = 0.5576$

$E[Y^2] = 0^2 \cdot P(Y=0) + 1^2 \cdot P(Y=1) + 2^2 \cdot P(Y=2) = 0 + 0.37 + 4 \cdot 0.25 = 0.37 + 1.00 = 1.37$

$Var[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 1.37 - (0.87)^2 = 1.37 - 0.7569 = 0.6131$

標準偏差を計算します。

$\sigma_X = \sqrt{Var[X]} = \sqrt{0.5576} \approx 0.7467$

$\sigma_Y = \sqrt{Var[Y]} = \sqrt{0.6131} \approx 0.7830$

最後に、相関係数を計算します。

$\rho[X, Y] = \frac{Cov[X, Y]}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-0.04}{0.7467 \cdot 0.7830} = \frac{-0.04}{0.5846} \approx -0.0684$

小数第3位で四捨五入すると-0.07となります。

3. 最終的な答え

$\rho[X, Y] = -0.07$