袋の中に赤玉が7個、白玉が5個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が1個、白玉が2個出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が7個、白玉が5個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が1個、白玉が2個出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋から3個の玉を取り出す場合の総数を求める。これは、12個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数であるから、$_{12}C_3$ で計算できる。

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_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220

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次に、赤玉が1個、白玉が2個取り出される場合の数を求める。赤玉1個を選ぶ方法は $_{7}C_1$通り、白玉2個を選ぶ方法は $_{5}C_2$通りである。したがって、赤玉1個、白玉2個を選ぶ組み合わせの数は、

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_{7}C_1 \times _{5}C_2 = 7 \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = 7 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 7 \times 10 = 70

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したがって、求める確率は、

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\frac{_{7}C_1 \times _{5}C_2}{_{12}C_3} = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}

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3. 最終的な答え

$\frac{7}{22}$