男子6人、女子5人の中から4人を選ぶ。 (1) 男子から2人、女子から2人を選ぶ選び方は何通りか。 (2) 女子から少なくとも1人を選ぶ選び方は何通りか。

1. 問題の内容

男子6人、女子5人の中から4人を選ぶ。

(1) 男子から2人、女子から2人を選ぶ選び方は何通りか。

(2) 女子から少なくとも1人を選ぶ選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 男子から2人、女子から2人を選ぶ場合

男子6人から2人を選ぶ組み合わせの数は、$_{6}C_{2}$通り。

女子5人から2人を選ぶ組み合わせの数は、$_{5}C_{2}$通り。

それぞれの組み合わせに対して選び方があるので、積の法則より、$_{6}C_{2}$と$_{5}C_{2}$を掛け合わせる。

計算式は以下の通り。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、選び方の総数は$15 \times 10 = 150$通り。

(2) 女子から少なくとも1人を選ぶ場合

全体の選び方の総数から、女子を一人も選ばない選び方を引けばよい。

全体の選び方の総数は、$_{11}C_{4}$通り。

女子を一人も選ばない選び方は、男子6人から4人を選ぶ選び方なので、$_{6}C_{4}$通り。

計算式は以下の通り。

$_{11}C_{4} = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、女子から少なくとも1人を選ぶ選び方の総数は$330 - 15 = 315$通り。

3. 最終的な答え

(1) 150通り

(2) 315通り