大小中3個のサイコロを投げて、出る目の数をそれぞれ $a, b, c$ とします。次の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) $a = b = c$ (2) $a < b < c$ (3) $a \le b \le c$

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げて、出る目の数をそれぞれ $a, b, c$ とします。次の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) $a = b = c$

(2) $a < b < c$

(3) $a \le b \le c$

2. 解き方の手順

(1) $a = b = c$ の場合、3つのサイコロの目がすべて同じになる場合を考えます。サイコロの目は1から6まであるので、$a, b, c$ はそれぞれ1から6のいずれかの値を取ります。したがって、可能な組み合わせは $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)$ の6通りです。

(2) $a < b < c$ の場合、3つのサイコロの目がすべて異なり、かつ昇順に並んでいる必要があります。これは、1から6までの数字から3つを選び、小さい順に $a, b, c$ に割り当てる組み合わせの数と一致します。組み合わせの総数は ${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りです。

(3) $a \le b \le c$ の場合、3つのサイコロの目が昇順に並んでいる必要がありますが、同じ目が出ても構いません。これは、重複組み合わせの問題として考えることができます。6種類の数字から重複を許して3つを選ぶ組み合わせの数であり、${}_6 H_3 = {}_{6+3-1} C_3 = {}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $a = b = c$ の場合の数：6通り

(2) $a < b < c$ の場合の数：20通り

(3) $a \le b \le c$ の場合の数：56通り