与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 5$ と (3) $a_1 = 2, a_{n+1} = 5a_n$ の2つの数列の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 5$ と (3) $a_1 = 2, a_{n+1} = 5a_n$ の2つの数列の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 5$

この数列は、初項が1、公差が5の等差数列です。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。

したがって、$a_n = 1 + (n-1)5 = 1 + 5n - 5 = 5n - 4$

(3) $a_1 = 2, a_{n+1} = 5a_n$

この数列は、初項が2、公比が5の等比数列です。

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

したがって、$a_n = 2 \cdot 5^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 4$

(3) $a_n = 2 \cdot 5^{n-1}$