$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、以下の関数の極値を求めよ。 (1) $f(x) = \sin 2x - 2\cos x$ (2) $f(x) = \sin x(1 + \cos x)$ (3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$ (4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、以下の関数の極値を求めよ。

(1) $f(x) = \sin 2x - 2\cos x$

(2) $f(x) = \sin x(1 + \cos x)$

(3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

(4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin 2x - 2\cos x$

まず、導関数を求める。

$f'(x) = 2\cos 2x + 2\sin x = 2(1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x = -4\sin^2 x + 2\sin x + 2 = -2(2\sin^2 x - \sin x - 1) = -2(2\sin x + 1)(\sin x - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2\sin x + 1 = 0$ または $\sin x - 1 = 0$ のとき。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$。

$\sin x = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$。

$x = \frac{7\pi}{6}$ のとき、$f(\frac{7\pi}{6}) = \sin\frac{7\pi}{3} - 2\cos\frac{7\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

$x = \frac{11\pi}{6}$ のとき、$f(\frac{11\pi}{6}) = \sin\frac{11\pi}{3} - 2\cos\frac{11\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$f(\frac{\pi}{2}) = \sin\pi - 2\cos\frac{\pi}{2} = 0$。

増減表を書くと、$x = \frac{7\pi}{6}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、$x = \frac{11\pi}{6}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$、$x = \frac{\pi}{2}$ で極小値 0。

(2) $f(x) = \sin x(1 + \cos x)$

$f'(x) = \cos x(1 + \cos x) + \sin x(-\sin x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2\cos x - 1 = 0$ または $\cos x + 1 = 0$ のとき。

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

$\cos x = -1$ のとき、$x = \pi$。

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$f(\frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3}(1 + \cos\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。

$x = \frac{5\pi}{3}$ のとき、$f(\frac{5\pi}{3}) = \sin\frac{5\pi}{3}(1 + \cos\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = \sin\pi(1 + \cos\pi) = 0(1 - 1) = 0$。

増減表を書くと、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、$x = \frac{5\pi}{3}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$、$x = \pi$ で極大値 0。

(3) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

$f'(x) = 2\sin x\cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ または $2\cos x + 1 = 0$ のとき。

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi, 2\pi$。

$\cos x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0 - 1 = -1$。

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = 0 - (-1) = 1$。

$x = 2\pi$ のとき、$f(2\pi) = 0 - 1 = -1$。

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$f(\frac{2\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$。

$x = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$f(\frac{4\pi}{3}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$。

増減表を書くと、$x = 0, 2\pi$ で極小値 -1、$x = \pi$ で極大値 1、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ で極大値 $\frac{5}{4}$。

(4) $f(x) = e^{-x} \sin x$

$f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\cos x - \sin x = 0$ のとき。

$\cos x = \sin x$ より、$\tan x = 1$。

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}}\sin\frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$x = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$f(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}}\sin\frac{5\pi}{4} = e^{-\frac{5\pi}{4}}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$。

増減表を書くと、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値 $-e^{-\frac{5\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{7\pi}{6}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$、 $x = \frac{11\pi}{6}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$、 $x = \frac{\pi}{2}$ で極小値 0。

(2) $x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、$x = \frac{5\pi}{3}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$、$x = \pi$ で極大値 0。

(3) $x = 0, 2\pi$ で極小値 -1、$x = \pi$ で極大値 1、$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ で極大値 $\frac{5}{4}$。

(4) $x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値 $-e^{-\frac{5\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$。