与えられた二重積分の積分順序を変更し、$ \int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) dx dy = \int_0^1 \int_{x^\beta}^{x^\alpha} f(x, y) dy dx $となるように、$ \alpha $と$ \beta $を求める。

1. 問題の内容

与えられた二重積分の積分順序を変更し、$\int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) dx dy = \int_0^1 \int_{x^\beta}^{x^\alpha} f(x, y) dy dx$となるように、$\alpha$と$\beta$を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を定める不等式を書き出す。

$0 \le y \le 1$

$y \le x \le \sqrt{y}$

これらの不等式から$x$と$y$の関係を明らかにする。

$x = \sqrt{y}$より、$y = x^2$である。また、$x = y$である。

$y \le x \le \sqrt{y}$より、$y \le \sqrt{y}$であるから、$y^2 \le y$となり、$0 \le y \le 1$が導かれる。

$y = x$と$y = x^2$の交点は、$x = x^2$より、$x = 0$と$x = 1$である。

$0 \le x \le 1$において、$x^2 \le x$である。

したがって、積分順序を変更すると、

$\int_0^1 \int_{x^2}^{x} f(x, y) dy dx$となる。

よって、$\alpha = 1$、$\beta = 2$である。

3. 最終的な答え

$\alpha = 1$

$\beta = 2$