平均値の定理を満たす点 $c$ を求める問題です。平均値の定理は、ある区間 $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、 $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) $$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、という定理です。

画像から、問題は「平均値の定理を満たす $c, \theta$ を求めよ」という形式であると推測できます。ただし、具体的な関数や区間が示されていないため、一般的な手順と、具体例を与えて説明します。

1. 問題の内容

平均値の定理を満たす点 $c$ を求める問題です。平均値の定理は、ある区間 $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、

$$$$

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

$$$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、という定理です。

2. 解き方の手順

まず、問題で与えられた関数 $f(x)$ と区間 $[a, b]$ を確認します。

次に、平均値の定理の式を計算します。

1. $f(b)$ と $f(a)$ を求めます。

2. $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を計算します。これは、区間$[a, b]$における $f(x)$ の平均変化率を表します。

3. $f'(x)$ (導関数) を計算します。

4. $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を満たす $c$ を求めます。

5. 求めた $c$ が区間 $(a, b)$ 内にあるかどうかを確認します。もし区間内にあれば、その $c$ が平均値の定理を満たす点となります。

6. 平均値の定理が「区間内に少なくとも1つ存在する」ことしか保証しないことに注意します。複数の $c$ が存在する可能性もあります。

7. $\theta$ が求められている場合、$c$ を用いて表される関係式が与えられているはずなので、それに従って $\theta$ を求めます。例: $c = a + \theta (b - a)$ のような場合。

例：

$f(x) = x^2$、区間 $[1, 3]$ の場合

$f(3) = 9$

$f(1) = 1$

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$

$f'(x) = 2x$

$f'(c) = 2c$

$2c = 4$ を解くと $c = 2$

$1 < 2 < 3$ なので、$c = 2$ は区間 $(1, 3)$ 内にあります。

もし、$c = 1 + 2\theta$ のように表すなら、$2 = 1 + 2\theta$ より $2\theta = 1$ よって $\theta = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

問題文から関数と区間が不明なので、具体的な答えは導けません。ただし、上記の解き方の手順に従って、$c$ と $\theta$ を求めることができます。例えば、上記の例であれば、$c = 2$, $\theta = \frac{1}{2}$ が答えになります。