以下の4つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$ (2) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$ (3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$ (4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$

1. 問題の内容

以下の4つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$

(2) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to +0$ のとき、$x > 0$ なので $|x| = x$ となります。

$\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to +0} 1 = 1$

(2) $x \to -0$ のとき、$x < 0$ なので $|x| = -x$ となります。

$\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to -0} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to -0} -1 = -1$

(3) $x \to 1+0$ のとき、$x > 1$ なので $x - 1 > 0$ となり $|x - 1| = x - 1$ となります。また、$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ と因数分解できます。

$\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1+0} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1+0} (x + 1) = 1 + 1 = 2$

(4) $x \to 1-0$ のとき、$x < 1$ なので $x - 1 < 0$ となり $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ となります。また、$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ と因数分解できます。

$\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1-0} \frac{(x - 1)(x + 1)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1-0} -(x + 1) = -(1 + 1) = -2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -1

(3) 2

(4) -2