関数 $y = \log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} (8-x)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} (8-x)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件より、$x>0$ かつ $8-x>0$ である必要がある。したがって、$0 < x < 8$。

次に、対数の性質を用いて関数を整理する。

$y = \log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} (8-x) = \log_{\frac{1}{4}} (x(8-x)) = \log_{\frac{1}{4}} (-x^2+8x)$

関数$f(x)=-x^2+8x$は上に凸な放物線であり、$0 < x < 8$における最大値を求める。

$f(x)=-(x^2-8x)=-(x^2-8x+16-16)=-(x-4)^2+16$

したがって、$f(x)$は$x=4$のとき、最大値$16$をとる。

このとき、$y = \log_{\frac{1}{4}} 16$

$\left(\frac{1}{4}\right)^t = 16$を満たす$t$を求めると、

$\left(\frac{1}{4}\right)^t = (4^{-1})^t = 4^{-t} = 4^2$

$-t = 2$

$t = -2$

したがって、最大値は、$y = -2$

$f(x)$が最大値をとるとき、$y$は最小値をとる。

3. 最終的な答え

最小値：-2