$\theta$ を定数とするとき、次の極限を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6}$

1. 問題の内容

$\theta$ を定数とするとき、次の極限を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6}$

2. 解き方の手順

$\cos \frac{n\theta}{6}$ は $-1$ から $1$ の間の値をとるので、

$-1 \leq \cos \frac{n\theta}{6} \leq 1$

この不等式の各辺を $n$ で割ると、$n>0$ なので不等号の向きは変わらず

$-\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6} \leq \frac{1}{n}$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

したがって、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos \frac{n\theta}{6} = 0$

3. 最終的な答え

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