次の3つの微分方程式を解きます。 (1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$ （$a$: 定数） (2) $\frac{dy}{dx} = y(5-y)$, $y(0) = 1$ (3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

次の3つの微分方程式を解きます。

(1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$ （$a$: 定数）

(2) $\frac{dy}{dx} = y(5-y)$, $y(0) = 1$

(3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2 - y^2}$

変数分離を行います。

$\frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{\sqrt{a^2 - y^2}} = \int dx$

$\arcsin(\frac{y}{a}) = x + C$

$y = a \sin(x+C)$

(2) $\frac{dy}{dx} = y(5-y)$, $y(0) = 1$

変数分離を行います。

$\frac{dy}{y(5-y)} = dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{y(5-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{5-y}$

$1 = A(5-y) + By$

$y = 0$のとき、$1 = 5A$なので、$A = \frac{1}{5}$

$y = 5$のとき、$1 = 5B$なので、$B = \frac{1}{5}$

したがって、$\frac{1}{y(5-y)} = \frac{1}{5}(\frac{1}{y} + \frac{1}{5-y})$

$\int \frac{dy}{y(5-y)} = \int dx$

$\frac{1}{5} \int (\frac{1}{y} + \frac{1}{5-y}) dy = \int dx$

$\frac{1}{5} (\ln |y| - \ln |5-y|) = x + C$

$\ln |\frac{y}{5-y}| = 5x + 5C$

$\frac{y}{5-y} = e^{5x + 5C} = Ke^{5x}$

$y = (5-y)Ke^{5x}$

$y = 5Ke^{5x} - yKe^{5x}$

$y(1 + Ke^{5x}) = 5Ke^{5x}$

$y = \frac{5Ke^{5x}}{1 + Ke^{5x}}$

初期条件$y(0) = 1$を適用します。

$1 = \frac{5K}{1+K}$

$1+K = 5K$

$4K = 1$

$K = \frac{1}{4}$

$y = \frac{5(\frac{1}{4})e^{5x}}{1 + \frac{1}{4}e^{5x}}$

$y = \frac{\frac{5}{4}e^{5x}}{\frac{4+e^{5x}}{4}}$

$y = \frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}$

(3) $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ ($x > 0$)

線形微分方程式です。積分因子を求めます。

$I(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$

両辺に$x$を掛けます。

$x \frac{dy}{dx} + y = x \sin x$

$\frac{d}{dx}(xy) = x \sin x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int x \sin x dx$

$xy = \int x \sin x dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = \sin x dx$とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

$xy = -x \cos x + \sin x + C$

$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = a \sin(x+C)$

(2) $y = \frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}$

(3) $y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$