$x \in (-1, 1)$ で定義された関数 $f_1(x) = \sqrt{1 - x^2}$ について、以下の導関数を求める問題です。 (a) $f_1'(x)$ (b) $f_1''(x)$ (c) $f_1'''(x)$

解析学導関数微分合成関数の微分法商の微分法
2025/7/1

1. 問題の内容

x(1,1)x \in (-1, 1) で定義された関数 f1(x)=1x2f_1(x) = \sqrt{1 - x^2} について、以下の導関数を求める問題です。
(a) f1(x)f_1'(x)
(b) f1(x)f_1''(x)
(c) f1(x)f_1'''(x)

2. 解き方の手順

(a) f1(x)f_1'(x) を求める。
f1(x)=1x2=(1x2)12f_1(x) = \sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} であるから、合成関数の微分法を用いると、
f1(x)=12(1x2)12(2x)f_1'(x) = \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x)
f1(x)=x1x2f_1'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
(b) f1(x)f_1''(x) を求める。
f1(x)=x1x2f_1'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} に対して、商の微分法を用いると、
f1(x)=(x)1x2x(1x2)(1x2)2f_1''(x) = -\frac{(x)'\sqrt{1 - x^2} - x(\sqrt{1 - x^2})'}{(\sqrt{1 - x^2})^2}
=1x2x12(1x2)12(2x)1x2= -\frac{\sqrt{1 - x^2} - x \cdot \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)}{1 - x^2}
=1x2+x21x21x2= -\frac{\sqrt{1 - x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2}
=1x2+x21x21x2= -\frac{\frac{1 - x^2 + x^2}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2}
=1(1x2)1x2= -\frac{1}{(1 - x^2)\sqrt{1 - x^2}}
=1(1x2)32= -\frac{1}{(1 - x^2)^{\frac{3}{2}}}
f1(x)=(1x2)32f_1''(x) = -(1 - x^2)^{-\frac{3}{2}}
(c) f1(x)f_1'''(x) を求める。
f1(x)=(1x2)32f_1''(x) = -(1 - x^2)^{-\frac{3}{2}} を微分すると、
f1(x)=(32)(1x2)52(2x)f_1'''(x) = -(-\frac{3}{2})(1 - x^2)^{-\frac{5}{2}}(-2x)
=3x(1x2)52= -\frac{3x}{(1 - x^2)^{\frac{5}{2}}}

3. 最終的な答え

(a) f1(x)=x1x2f_1'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
(b) f1(x)=1(1x2)32f_1''(x) = -\frac{1}{(1 - x^2)^{\frac{3}{2}}}
(c) f1(x)=3x(1x2)52f_1'''(x) = -\frac{3x}{(1 - x^2)^{\frac{5}{2}}}

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