与えられた関数 $f(x,y)$ に対して、指定された点における偏微分係数 $f_x$ と $f_y$ を計算する問題が４つあります。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ に対して、指定された点における偏微分係数 $f_x$ と $f_y$ を計算する問題が４つあります。

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、まず $x$ と $y$ で偏微分を行い、$f_x$ と $f_y$ を求めます。その後、指定された点 $(x, y)$ の座標を代入して、偏微分係数の値を計算します。

**問題1:** $f(x,y) = \ln(5x^2+4xy+5y^2-16)$，点$(1,-2)$

$f_x = \frac{10x + 4y}{5x^2 + 4xy + 5y^2 - 16}$

$f_y = \frac{4x + 10y}{5x^2 + 4xy + 5y^2 - 16}$

点 $(1, -2)$ を代入:

$f_x(1, -2) = \frac{10(1) + 4(-2)}{5(1)^2 + 4(1)(-2) + 5(-2)^2 - 16} = \frac{10 - 8}{5 - 8 + 20 - 16} = \frac{2}{1} = 2$

$f_y(1, -2) = \frac{4(1) + 10(-2)}{5(1)^2 + 4(1)(-2) + 5(-2)^2 - 16} = \frac{4 - 20}{5 - 8 + 20 - 16} = \frac{-16}{1} = -16$

**問題2:** $f(x,y) = x\ln(2xy+5y^2-15)$，点$(1,-2)$

$f_x = \ln(2xy+5y^2-15) + x \cdot \frac{2y}{2xy+5y^2-15} = \ln(2xy+5y^2-15) + \frac{2xy}{2xy+5y^2-15}$

$f_y = x \cdot \frac{2x+10y}{2xy+5y^2-15}$

点 $(1, -2)$ を代入:

$f_x(1, -2) = \ln(2(1)(-2) + 5(-2)^2 - 15) + \frac{2(1)(-2)}{2(1)(-2) + 5(-2)^2 - 15} = \ln(-4 + 20 - 15) + \frac{-4}{-4 + 20 - 15} = \ln(1) + \frac{-4}{1} = 0 - 4 = -4$

$f_y(1, -2) = 1 \cdot \frac{2(1) + 10(-2)}{2(1)(-2) + 5(-2)^2 - 15} = \frac{2 - 20}{-4 + 20 - 15} = \frac{-18}{1} = -18$

**問題3:** $f(x,y) = (-2xy-3y^2)\ln(-4x+9)$，点$(2,-1)$

$f_x = (-2y)\ln(-4x+9) + (-2xy-3y^2) \cdot \frac{-4}{-4x+9} = (-2y)\ln(-4x+9) + \frac{4(-2xy-3y^2)}{-4x+9}$

$f_y = (-2x-6y)\ln(-4x+9) + (-2xy-3y^2) \cdot 0 = (-2x-6y)\ln(-4x+9)$

点 $(2, -1)$ を代入:

$f_x(2, -1) = (-2(-1))\ln(-4(2)+9) + \frac{4(-2(2)(-1)-3(-1)^2)}{-4(2)+9} = 2\ln(1) + \frac{4(4-3)}{1} = 2(0) + \frac{4}{1} = 0 + 4 = 4$

$f_y(2, -1) = (-2(2)-6(-1))\ln(-4(2)+9) = (-4+6)\ln(1) = 2(0) = 0$

**問題4:** $f(x,y) = \frac{\ln(3x-2)}{5y-7}$，点$(1,2)$

$f_x = \frac{1}{5y-7} \cdot \frac{3}{3x-2}$

$f_y = \ln(3x-2) \cdot (-\frac{5}{(5y-7)^2})$

点 $(1, 2)$ を代入:

$f_x(1, 2) = \frac{1}{5(2)-7} \cdot \frac{3}{3(1)-2} = \frac{1}{10-7} \cdot \frac{3}{3-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1} = 1$

$f_y(1, 2) = \ln(3(1)-2) \cdot (-\frac{5}{(5(2)-7)^2}) = \ln(1) \cdot (-\frac{5}{(10-7)^2}) = 0 \cdot (-\frac{5}{9}) = 0$

3. 最終的な答え

問題1: $f_x(1, -2) = 2$, $f_y(1, -2) = -16$

問題2: $f_x(1, -2) = -4$, $f_y(1, -2) = -18$

問題3: $f_x(2, -1) = 4$, $f_y(2, -1) = 0$

問題4: $f_x(1, 2) = 1$, $f_y(1, 2) = 0$