関数 $y = \sin\theta - \cos\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin\theta - \cos\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin\theta - \cos\theta$ を合成する。

$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta \right) = \sqrt{2} \sin \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$

ここで、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ である。

$\sin\left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ の最大値は $1$ で、そのときの $\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{3\pi}{4}$。

$\sin\left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ の最小値は $-1$ で、そのときの $\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{7\pi}{4}$。

最大値：$y = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{4}$ のとき)

最小値：$y = \sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{7\pi}{4}$ のとき)

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{4}$)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{7\pi}{4}$)