与えられた5つの積分を計算します。 (1) $\int \sin x \sin 2x \, dx$ (2) $\int \frac{e^{2x}}{e^x - 1} \, dx$ (3) $\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \, dx$ (4) $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \, dx$ (5) $\int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx$

わかりました。与えられた5つの積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた5つの積分を計算します。

(1) $\int \sin x \sin 2x \, dx$

(2) $\int \frac{e^{2x}}{e^x - 1} \, dx$

(3) $\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \, dx$

(4) $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \, dx$

(5) $\int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin x \sin 2x \, dx$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、

$\int \sin x (2 \sin x \cos x) \, dx = 2 \int \sin^2 x \cos x \, dx$

$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x \, dx$ となり、

$2 \int u^2 \, du = 2 \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{2}{3} \sin^3 x + C$

(2) $\int \frac{e^{2x}}{e^x - 1} \, dx$

$u = e^x$ と置くと、$du = e^x \, dx$ より $dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}$。

$\int \frac{u^2}{u - 1} \cdot \frac{1}{u} \, du = \int \frac{u}{u - 1} \, du = \int \frac{u - 1 + 1}{u - 1} \, du = \int \left(1 + \frac{1}{u - 1}\right) \, du$

$= u + \ln |u - 1| + C = e^x + \ln |e^x - 1| + C$

(3) $\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} \, dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$。

$\int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} \, dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ より、$\int \tan^2 x \sec^2 x \, dx$

$u = \tan x$ と置くと、$du = \sec^2 x \, dx$。

$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\tan^3 x}{3} + C$

(4) $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \, dx$

$u = e^x - e^{-x}$ と置くと、$du = (e^x + e^{-x}) \, dx$。

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |e^x - e^{-x}| + C$

(5) $\int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx$

$u = e^x + 1$ と置くと、$du = e^x \, dx$。

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |e^x + 1| + C = \ln (e^x + 1) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} \sin^3 x + C$

(2) $e^x + \ln |e^x - 1| + C$

(3) $\frac{\tan^3 x}{3} + C$

(4) $\ln |e^x - e^{-x}| + C$

(5) $\ln (e^x + 1) + C$