関数 $f(x, y) = -x^3 + 12x - 5y^2$ の極大となる点での極大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = -x^3 + 12x - 5y^2$ の極大となる点での極大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算して、極値の候補となる点を求める。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -3x^2 + 12$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -10y$

極値の候補点は、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす点である。

$f_x = 0$ より、 $-3x^2 + 12 = 0$。

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$f_y = 0$ より、 $-10y = 0$。

$y = 0$

したがって、極値の候補点は $(2, 0)$ と $(-2, 0)$ である。

次に、ヘッセ行列を計算して、極大となる点を調べる。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6x$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -10$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

ヘッセ行列は次のようになる。

$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6x & 0 \\ 0 & -10 \end{bmatrix}$

ヘッセ行列の行列式は $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (-6x)(-10) - 0^2 = 60x$

点 $(2, 0)$ では、$D = 60(2) = 120 > 0$ であり、$f_{xx} = -6(2) = -12 < 0$ なので、$(2, 0)$ は極大点である。

極大値は $f(2, 0) = -(2)^3 + 12(2) - 5(0)^2 = -8 + 24 - 0 = 16$

点 $(-2, 0)$ では、$D = 60(-2) = -120 < 0$ なので、鞍点である。

3. 最終的な答え

極大値は 16