関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $x=a$ で連続であるとき、$2f(x) - g(x)$ が $x=a$ で連続であることを、$\epsilon - \delta$ 論法を用いて示す証明の穴埋め問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $x=a$ で連続であるとき、$2f(x) - g(x)$ が $x=a$ で連続であることを、$\epsilon - \delta$ 論法を用いて示す証明の穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

証明を順番に見ていきます。

まず、関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続なので、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある正の数 $\delta_1$ が存在して、$x \in I$ かつ $|x-a| < \delta_1$ ならば $|f(x) - f(a)| < \frac{\epsilon}{2}$ が成り立ちます。

ここで、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ であることから、アには $f(a)$ が入ります。そして、オには$\frac{\epsilon}{2}$が入ります。

また、関数 $g(x)$ が $x=a$ で連続なので、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある正の数 $\delta_2$ が存在して、$x \in I$ かつ $|x-a| < \delta_2$ ならば $|g(x) - g(a)| < \frac{\epsilon}{2}$ が成り立ちます。

ここで、$\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$ であることから、カには $g(a)$ が入ります。

$\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} > 0$ とします。$x \in I$ かつ $|x-a| < \delta$ を満たす任意の $x$ に対して、三角不等式を用いると、

$|2f(x) - g(x) - (2f(a) - g(a))| = |2(f(x) - f(a)) - (g(x) - g(a))| \le 2|f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)|$

が成り立ちます。したがってクには$2f(a)-g(a)$、ケには$|f(x)-f(a)|$、コには$|g(x)-g(a)|$が入ります。

さらに、不等式 (*) と (**) を用いると、

$2|f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < 2 \cdot \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

が得られます。これは $\lim_{x \to a} (2f(x) - g(x)) = 2f(a) - g(a)$ を示しており、$2f(x) - g(x)$ は $x=a$ で連続であることがわかります。

3. 最終的な答え

ア：$f(a)$

イ：正

ウ：正

エ：$a$

オ：$\frac{\epsilon}{2}$

カ：$g(a)$

キ：正

ク：$2f(a) - g(a)$

ケ：$|f(x) - f(a)|$

コ：$|g(x) - g(a)|$